共通の点で同じ接線をもつ2曲線（A）

2 曲線 $y=f(x)$，$y=g(x)$ が $x=p$ の点で接する（共有点で共通の接線をもつ）条件は \[ f(p)=g(p),\qquad f'(p)=g'(p) \] $f(x)=x^3-x$，$g(x)=x^2+a$ とすると $f'(x)=3x^2-1$，$g'(x)=2x$． $3p^2-1=2p$ より $3p^2-2p-1=0$，$(p-1)(3p+1)=0$ で $p=1,\ -\dfrac{1}{3}$． $f(p)=g(p)$ より $a=p^3-p-p^2$． $p=1$ のとき $a=-1$，接点 $(1,\ 0)$ $p=-\dfrac{1}{3}$ のとき $a=-\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{5}{27}$，接点 $\left(-\dfrac{1}{3},\ \dfrac{8}{27}\right)$