2つの放物線に共通な接線（A）

$y=x^2$ 上の点 $(t,\ t^2)$ における接線は $y=2tx-t^2$ ……① ① が放物線 $y=-x^2+4x-4$ にも接する条件を考える．連立して \[ -x^2+4x-4=2tx-t^2 \quad\text{すなわち}\quad x^2+(2t-4)x+4-t^2=0 \] これが重解をもつから，この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=(t-2)^2-(4-t^2)=2t^2-4t=0$ より $t=0,\ 2$． $t=0$ のとき $y=0$，$t=2$ のとき $y=4x-4$ （下図．$y=0$ は 2 つの放物線の頂点 $(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$ で接し，$y=4x-4$ は点 $(2,\ 4)$，$(0,\ -4)$ で接する．）