法線を求めて交点や面積を調べる（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 法線を求めて交点や面積を調べる（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
曲線 $y=x^3-3x^2$ 上の点 $(1,\ -2)$ における接線を $\ell$，法線を $m$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\ell,\ m$ の方程式を求めよ．
\item[(2)] $\ell,\ m$ と $x$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $y'=3x^2-6x$ より，$x=1$ における傾きは $-3$．
\[ \ell:\ y+2=-3(x-1) \quad\text{すなわち}\quad y=-3x+1 \]
法線の傾きは $\dfrac{1}{3}$ であるから
\[ m:\ y+2=\frac{1}{3}(x-1) \quad\text{すなわち}\quad y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3} \]
(2) $\ell$ と $x$ 軸の交点は $\left(\dfrac{1}{3},\ 0\right)$，$m$ と $x$ 軸の交点は $(7,\ 0)$．三角形の底辺は $7-\dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{3}$，高さは点 $(1,\ -2)$ から $x$ 軸までの距離 $2$．
\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{20}{3}\cdot 2=\frac{20}{3} \]
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