法線を求めて交点や面積を調べる（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 法線を求めて交点や面積を調べる（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
放物線 $y=x^2$ 上の点 A$(1,\ 1)$ における法線を $\ell$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 法線 $\ell$ の方程式を求めよ．
\item[(2)] 法線 $\ell$ と放物線の，A 以外の交点の座標を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $y'=2x$ より，A における接線の傾きは $2$．法線は接線に垂直であるから，傾きは $-\dfrac{1}{2}$．
\[ y-1=-\frac{1}{2}(x-1) \quad\text{すなわち}\quad y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \]
(2) $x^2=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ より $2x^2+x-3=0$，$(x-1)(2x+3)=0$．$x=1$ は A であるから $x=-\dfrac{3}{2}$．
交点は $\left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{9}{4}\right)$（下図）
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