導関数を含む等式を満たす多項式（A）

$f(x)$ が定数 $c$ のとき，$f'(x)=0$ より $0=4c$ で $c=0$ となり，$f(0)=1$ に反する． $f(x)$ の次数を $n\ (\geqq 1)$ とすると，左辺の次数は $2(n-1)$，右辺の次数は $n$ であるから $2n-2=n$ より $n=2$． $f(x)=ax^2+bx+c\ (a\neq 0)$ とおくと $f'(x)=2ax+b$ で \[ 4a^2x^2+4abx+b^2=4ax^2+4bx+4c \] 係数を比較して $4a^2=4a$，$4ab=4b$，$b^2=4c$．$a\neq 0$ より $a=1$．また $f(0)=c=1$ より $b^2=4$，$b=\pm 2$． よって $f(x)=x^2+2x+1,\ x^2-2x+1$