(x−1)² による割り算と微分（B）

$P(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとき，$Q(x)$ を多項式として $P(x)=(x-1)^2Q(x)$ と表せる．このとき $P(1)=0$ であり \[ P'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{P(1+h)-P(1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2Q(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}hQ(1+h)=0 \] よって \[ P(1)=0,\qquad P'(1)=0 \] が必要である．$P'(x)=3x^2+a$ であるから \[ 1+a+b=0,\qquad 3+a=0 \] よって $a=-3,\ b=2$ 逆にこのとき $P(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ となり，$(x-1)^2$ で割り切れる．