(x−1)² による割り算と微分（A）

商を $Q(x)$，余りを $ax+b$ とおくと \[ x^{10}=(x-1)^2Q(x)+ax+b\quad\cdots\text{①} \] ① に $x=1$ を代入して $1=a+b$ ……② ここで，$g(x)=(x-1)^2Q(x)$ とおくと，$g(1)=0$ であるから \[ g'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2Q(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}hQ(1+h)=0 \] ① の両辺を $x$ で微分すると $10x^9=g'(x)+a$ $x=1$ を代入して $10=g'(1)+a$，すなわち $a=10$．② より $b=-9$ よって，余りは $10x-9$