極限値の条件から係数を決める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 極限値の条件から係数を決める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2$ となるように，定数 $a,\ b$ の値を定めよ．
\item[(2)] 関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき，$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$ を $a,\ f(a),\ f'(a)$ を用いて表せ．
\end{enumerate}
(1) $x\to 1$ のとき分母 $\to 0$ であるから，極限値が存在するためには分子 $\to 0$ が必要で $a+b=0$，すなわち $b=-a$．このとき
\[ \frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}=\frac{a(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{a}{\sqrt{x}+1} \]
$x\to 1$ のとき $\dfrac{a}{2}$ に近づくから，$\dfrac{a}{2}=2$ より $a=4$，$b=-4$
(2) 分子に $a^2f(a)$ を引いて加えると
\[ x^2f(a)-a^2f(x)=(x^2-a^2)f(a)-a^2\{f(x)-f(a)\} \]
よって
\[ \frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}=(x+a)f(a)-a^2\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]
$x\to a$ のとき，これは $2af(a)-a^2f'(a)$ に近づく．
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