極限値の条件から係数を決める（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 極限値の条件から係数を決める（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=5$ となるように，定数 $a,\ b$ の値を定めよ．
\item[(2)] 関数 $f(x)$ が $f'(a)=4$ を満たすとき，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $x\to 2$ のとき分母 $\to 0$ であるから，極限値が存在するためには分子 $\to 0$ が必要である．よって $4+2a+b=0$，すなわち $b=-2a-4$．このとき
\[ x^2+ax-2a-4=(x-2)(x+2)+a(x-2)=(x-2)(x+a+2) \]
であるから，$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+a+2)=a+4$．$a+4=5$ より $a=1$，$b=-6$
(2) $f(a+2h)-f(a-h)=\{f(a+2h)-f(a)\}-\{f(a-h)-f(a)\}$ と変形すると
\[ \frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}=2\cdot\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}+\frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \]
$h\to 0$ のとき，右辺は $2f'(a)+f'(a)=3f'(a)=12$ に近づく．よって極限値は $12$
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