約分して求める関数の極限（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 約分して求める関数の極限（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の極限値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$
\end{enumerate}
いずれも分母・分子がともに $0$ に近づく形なので，約分してから極限を求める．
(1) $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$
(2) $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x+1}{x+1}=\frac{3}{2}$
(3) 分子を有理化すると
\[ \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} \]
よって，極限値は $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$
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