円にかかわる長さを θ で表して合成する最大・最小（A）

正弦定理より $\dfrac{\mathrm{AC}}{\sin B}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\sin C}=2\cdot 1=2$．$C=\pi-\dfrac{\pi}{3}-\theta=\dfrac{2}{3}\pi-\theta$ で，$0<\theta<\dfrac{2}{3}\pi$． \[ \mathrm{AB}+\mathrm{AC}=2\sin\left(\frac{2}{3}\pi-\theta\right)+2\sin\theta \] 加法定理により $\sin\left(\dfrac{2}{3}\pi-\theta\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\dfrac{1}{2}\sin\theta$ であるから \[ \mathrm{AB}+\mathrm{AC}=3\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\sqrt{3}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) \] $\dfrac{\pi}{6}<\theta+\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{5}{6}\pi$ であるから，$\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき最大値 $2\sqrt{3}$． （このとき $\triangle$ABC は正三角形である．）