図形の長さや面積を θ で表して合成する最大（B）

O を原点，OA を $x$ 軸の正の部分にとると，P$(\cos\theta,\ \sin\theta)$ で，OB は直線 $y=\sqrt{3}x$（下図）． Q は OB 上で $y$ 座標が $\sin\theta$ の点であるから Q$\left(\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{3}},\ \sin\theta\right)$．よって長方形の横の長さは $\cos\theta-\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{3}}$，縦の長さは $\sin\theta$ で，長方形 PQRS の面積を $T$ とすると \[ T=\sin\theta\cos\theta-\frac{\sin^2\theta}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\sin 2\theta-\frac{1-\cos 2\theta}{2\sqrt{3}} \] \[ =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta+\frac{1}{2}\cos 2\theta\right)-\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{2\sqrt{3}} \] $\dfrac{\pi}{6}<2\theta+\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{5}{6}\pi$ であるから，$2\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき最大で \[ T=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6} \]