図形の長さや面積を θ で表して合成する最大（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 図形の長さや面積を θ で表して合成する最大（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
長さ 2 の線分 AB を直径とする半円周上に，A，B と異なる点 P をとり，$\angle\mathrm{PAB}=\theta$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$ の最大値と，そのときの $\theta$ の値を求めよ．
\item[(2)] $\mathrm{AP}+\sqrt{3}\,\mathrm{PB}$ の最大値と，そのときの $\theta$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
AB は直径であるから $\angle\mathrm{APB}=\dfrac{\pi}{2}$．よって $\mathrm{AP}=2\cos\theta$，$\mathrm{PB}=2\sin\theta$ $\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$（下図）．
(1) $\mathrm{AP}+\mathrm{PB}=2(\sin\theta+\cos\theta)=2\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\dfrac{\pi}{4}<\theta+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3}{4}\pi$ であるから，$\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$
(2) $\mathrm{AP}+\sqrt{3}\,\mathrm{PB}=2\cos\theta+2\sqrt{3}\sin\theta=4\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$
$\dfrac{\pi}{6}<\theta+\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{2}{3}\pi$ であるから，$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき最大値 $4$
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