三角関数の不等式が表す xy 平面の領域（A）

和積公式より \[ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\geqq 0 \quad\text{すなわち}\quad \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\leqq 0 \] $0\leqq\dfrac{x+y}{2}\leqq 2\pi$，$-\pi\leqq\dfrac{x-y}{2}\leqq\pi$ であるから $\sin\dfrac{x+y}{2}\geqq 0$ となるのは $x+y\leqq 2\pi$ のとき（ただし $x+y=4\pi$ の点 $(2\pi,\ 2\pi)$ でも $0$） $\sin\dfrac{x-y}{2}\geqq 0$ となるのは $x\geqq y$ のとき（ただし $x-y=-2\pi$ の点 $(0,\ 2\pi)$ でも $0$） 2 つの積が $0$ 以下になるのは，一方が $0$ 以上で他方が $0$ 以下のときであるから (i) $x+y\leqq 2\pi$ かつ $x\leqq y$ \quad または \quad (ii) $x+y\geqq 2\pi$ かつ $x\geqq y$ よって，求める領域は正方形を 2 本の対角線で 4 つに分けたうちの左右の 2 つの三角形で，境界を含む（下図）．