x=cosθ, y=sinθ とおく2次式の最大・最小（B）

$x=2\cos\theta$，$y=2\sin\theta$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ とおくと \[ 3x^2+2xy+3y^2=3(x^2+y^2)+2xy=12+8\sin\theta\cos\theta=12+4\sin 2\theta \] $-1\leqq\sin 2\theta\leqq 1$ であるから，最大値 $16$，最小値 $8$． 最大となるのは $\sin 2\theta=1$，すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{5}{4}\pi$ のときで，$(x,\ y)=(\sqrt{2},\ \sqrt{2}),\ (-\sqrt{2},\ -\sqrt{2})$ 最小となるのは $\sin 2\theta=-1$，すなわち $\theta=\dfrac{3}{4}\pi,\ \dfrac{7}{4}\pi$ のときで，$(x,\ y)=(-\sqrt{2},\ \sqrt{2}),\ (\sqrt{2},\ -\sqrt{2})$