x=cosθ, y=sinθ とおく2次式の最大・最小（A）

$x^2+y^2=1$ より $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$ $(0\leqq\theta<2\pi)$ とおける．このとき \[ x^2+2\sqrt{3}\,xy-y^2=\cos^2\theta-\sin^2\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta=\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta=2\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right) \] $\dfrac{\pi}{6}\leqq 2\theta+\dfrac{\pi}{6}<4\pi+\dfrac{\pi}{6}$ であるから，最大値 $2$，最小値 $-2$． 最大となるのは $2\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5}{2}\pi$，すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{7}{6}\pi$ のときで，$(x,\ y)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2}\right),\ \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2}\right)$ 最小となるのは $2\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3}{2}\pi,\ \dfrac{7}{2}\pi$，すなわち $\theta=\dfrac{2}{3}\pi,\ \dfrac{5}{3}\pi$ のときで，$(x,\ y)=\left(-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\ \left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$