式を変形してから合成する最大・最小（A）

半角・2 倍角の公式 $\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$，$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$，$2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta$ を用いて \[ y=\frac{1-\cos 2\theta}{2}+\sin 2\theta+\frac{3(1+\cos 2\theta)}{2}=\sin 2\theta+\cos 2\theta+2=\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)+2 \] $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ より $\dfrac{\pi}{4}\leqq 2\theta+\dfrac{\pi}{4}\leqq\dfrac{5}{4}\pi$ で，$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\leqq 1$． 最大値は $2\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{8}$ のとき $2+\sqrt{2}$ 最小値は $2\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5}{4}\pi$ すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $2-1=1$