三角方程式の解の個数（グラフとの共有点）（B）

$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ より，方程式は $-\cos^2\theta+\cos\theta+1=a$．$t=\cos\theta$ とおくと \[ g(t)=-t^2+t+1=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}=a\quad(-1\leqq t\leqq 1) \] $0\leqq\theta\leqq\pi$ では，$t=\cos\theta$ と $\theta$ は 1 対 1 に対応するから，解の個数は $-1\leqq t\leqq 1$ における $t$ の解の個数に等しい． $g(-1)=-1$，$g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4}$，$g(1)=1$ であるから，$y=g(t)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点を考えて（下図） ・$a<-1$ のとき 0 個 ・$-1\leqq a<1$ のとき 1 個 ・$1\leqq a<\dfrac{5}{4}$ のとき 2 個 ・$a=\dfrac{5}{4}$ のとき 1 個 ・$a>\dfrac{5}{4}$ のとき 0 個