三角方程式の解の個数（グラフとの共有点）（A）

$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ より，方程式は $-\sin^2\theta-\sin\theta+1=a$．$t=\sin\theta$ とおくと \[ f(t)=-t^2-t+1=-\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}=a\quad(-1\leqq t\leqq 1) \] $0\leqq\theta<2\pi$ において，$t$ の 1 つの値に対応する $\theta$ の個数は $-1<t<1$ のとき 2 個，$t=1$ のとき 1 個（$\theta=\dfrac{\pi}{2}$），$t=-1$ のとき 1 個（$\theta=\dfrac{3}{2}\pi$） である．$f(-1)=1$，$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4}$，$f(1)=-1$ に注意して，$y=f(t)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点を調べる（下図）． ・$a>\dfrac{5}{4}$ のとき：$t$ なし．0 個 ・$a=\dfrac{5}{4}$ のとき：$t=-\dfrac{1}{2}$．2 個 ・$1<a<\dfrac{5}{4}$ のとき：$-1<t<-\dfrac{1}{2}$，$-\dfrac{1}{2}<t<0$ に 1 つずつ．4 個 ・$a=1$ のとき：$t=-1,\ 0$．$1+2=3$ 個 ・$-1<a<1$ のとき：$0<t<1$ に 1 つ．2 個 ・$a=-1$ のとき：$t=1$．1 個 ・$a<-1$ のとき：0 個