三角方程式が解をもつ定数の範囲（A）

$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を代入して整理すると \[ \cos^2\theta-2\cos\theta-1=a \] $t=\cos\theta$ とおくと $-1\leqq t\leqq 1$ で，方程式は $t^2-2t-1=a$ となる．$\theta$ についての方程式が解をもつ条件は，$t$ についての方程式が $-1\leqq t\leqq 1$ に解をもつことである． $f(t)=t^2-2t-1=(t-1)^2-2$ とおくと，$-1\leqq t\leqq 1$ で $f(t)$ は減少し，$f(-1)=2$，$f(1)=-2$． よって，$y=f(t)$ のグラフと直線 $y=a$ が $-1\leqq t\leqq 1$ で共有点をもつ条件は（下図） \[ -2\leqq a\leqq 2 \]