定数 a を含む三角関数の最大・最小（場合分け）（B）

$t=\cos\theta$ とおくと $-1\leqq t\leqq 1$ で \[ y=1-t^2+2at=-(t-a)^2+a^2+1 \] 上に凸の放物線で，軸は $t=a$． 最大値 $M$： $a<-1$ のとき $t=-1$ で $M=-2a$；$-1\leqq a\leqq 1$ のとき $t=a$ で $M=a^2+1$；$a>1$ のとき $t=1$ で $M=2a$ 最小値 $m$：上に凸であるから，区間の両端のうち軸から遠い方で最小となる．$t=-1$ のとき $y=-2a$，$t=1$ のとき $y=2a$ であるから $a\geqq 0$ のとき $t=-1$ で $m=-2a$；$a<0$ のとき $t=1$ で $m=2a$