領域の包含を使って命題を証明する（A）

$P=\{(x,\ y)\mid x^2+y^2\leqq 2\}$，$Q=\{(x,\ y)\mid x+y\leqq 2\}$ とすると，命題は「$P\subset Q$」と同じである． $P$ は円 $x^2+y^2=2$ の周および内部，$Q$ は直線 $x+y=2$ およびその下側である． 原点と直線 $x+y=2$ の距離は $\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ で円の半径に等しいから，直線は円に点 $(1,\ 1)$ で接する．よって円の周および内部はすべて直線の下側（直線上を含む）にあり，$P\subset Q$ が成り立つ（下図）． したがって，$x^2+y^2\leqq 2$ ならば $x+y\leqq 2$ である． \hfill 〔証明終〕