和と積を座標とする点の範囲（B）

$X=x+y$，$Y=xy$ とおく．$x,\ y$ は $t^2-Xt+Y=0$ の 2 つの解である． $x,\ y$ がともに $0$ 以上の実数であるための条件は，この 2 次方程式が 0 以上の 2 つの実数解（重解を含む）をもつことで \[ X^2-4Y\geqq 0,\qquad X\geqq 0,\qquad Y\geqq 0 \] さらに $x+y\leqq 2$ より $X\leqq 2$．よって \[ 0\leqq Y\leqq\frac{X^2}{4},\qquad 0\leqq X\leqq 2 \] 求める領域は，放物線 $y=\dfrac{x^2}{4}$，$x$ 軸，直線 $x=2$ で囲まれた部分（境界を含む．下図）．