和と積を座標とする点の範囲（A）

$X=x+y$，$Y=xy$ とおく．$x,\ y$ は $t$ の 2 次方程式 $t^2-Xt+Y=0$ の 2 つの解であり，$x,\ y$ が実数であるための条件は，判別式から \[ X^2-4Y\geqq 0 \quad\text{すなわち}\quad Y\leqq\frac{X^2}{4}\quad\cdots\text{①} \] また，$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=X^2-2Y$ であるから，条件 $x^2+y^2\leqq 1$ は \[ X^2-2Y\leqq 1 \quad\text{すなわち}\quad Y\geqq\frac{X^2-1}{2}\quad\cdots\text{②} \] 逆に，①，② を満たす $(X,\ Y)$ に対して，① より $t$ の 2 次方程式 $t^2-Xt+Y=0$ は実数解をもつ．その 2 つの解（重解のときは同じ値）を $x,\ y$ とすると，$x+y=X$，$xy=Y$ であり，② より $x^2+y^2=X^2-2Y\leqq 1$ を満たす． 2 つの放物線の交点は $\dfrac{X^2}{4}=\dfrac{X^2-1}{2}$ より $X=\pm\sqrt{2}$．よって，求める領域は 2 つの放物線 $y=\dfrac{x^2}{4}$，$y=\dfrac{x^2-1}{2}$ で囲まれた部分（境界を含む．下図）．