x+y と x−y を新しい座標とみた領域（A）

$X=x+y$，$Y=x-y$ とおくと \[ x=\frac{X+Y}{2},\qquad y=\frac{X-Y}{2} \] 点 $(X,\ Y)$ が求める領域に属するための条件は，これらの $x,\ y$ が $x^2+y^2\leqq 1$ を満たすことである． \[ \left(\frac{X+Y}{2}\right)^2+\left(\frac{X-Y}{2}\right)^2\leqq 1 \quad\text{すなわち}\quad X^2+Y^2\leqq 2 \] よって，求める領域は円 $x^2+y^2=2$ の周および内部（下図）．