直線や放物線が通過する領域（t の範囲あり）（A）

$x$ を固定し，$y$ を $t$ の関数とみて \[ g(t)=2tx-t^2=-(t-x)^2+x^2\quad(0\leqq t\leqq 1) \] の値域を求める．点 $(x,\ y)$ が通過領域に属するのは，$y$ が $g(t)$ の値域に含まれるときである．$g(0)=0$，$g(1)=2x-1$ に注意する． (i) $x\leqq 0$ のとき：$g(t)$ は $0\leqq t\leqq 1$ で減少し，$2x-1\leqq y\leqq 0$ (ii) $0\leqq x\leqq 1$ のとき：最大値は $g(x)=x^2$，最小値は $g(0),\ g(1)$ の小さい方． \quad $0\leqq x\leqq\dfrac{1}{2}$ なら $2x-1\leqq y\leqq x^2$，$\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq 1$ なら $0\leqq y\leqq x^2$ (iii) $x\geqq 1$ のとき：$g(t)$ は増加し，$0\leqq y\leqq 2x-1$ 以上をまとめると，求める領域は下図の網目部分（境界を含む）．上側の境界は，$x\leqq 0$ で $y=0$，$0\leqq x\leqq 1$ で $y=x^2$，$x\geqq 1$ で $y=2x-1$；下側の境界は，$x\leqq\dfrac{1}{2}$ で $y=2x-1$，$x\geqq\dfrac{1}{2}$ で $y=0$ である． （$t=0$ の直線 $y=0$ と $t=1$ の直線 $y=2x-1$ で分けられた 4 つの部分のうち左右の 2 つの部分と，$0<x<1$ の範囲で 2 直線の上側にあり放物線 $y=x^2$ の下側にある部分を合わせたもの，と見ることもできる．）