領域内での x²+y² の最大・最小（A）

領域 $D$ は 3 点 $(4,\ 0)$，$(4,\ 3)$，$(-2,\ 3)$ を頂点とする三角形の周および内部である． $x^2+y^2=k$ とおくと，$k>0$ のときこれは原点を中心とする半径 $\sqrt{k}$ の円を表す．この円が $D$ と共有点をもつような $k$ の最大・最小を考える（下図）． 最大：円が頂点を通るときを調べる．$(4,\ 0)$ で $16$，$(4,\ 3)$ で $25$，$(-2,\ 3)$ で $13$．よって，点 $(4,\ 3)$ を通るとき最大で $k=25$ 最小：原点は $0+2\cdot 0<4$ より $D$ に含まれず，$D$ は直線 $x+2y=4$ に関して原点と反対側にある．よって，$k$ が最小となるのは円が直線 $x+2y=4$ に接するときである．原点と直線の距離は $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ で，接点は原点から直線に下ろした垂線の足 $\left(\dfrac{4}{5},\ \dfrac{8}{5}\right)$．これは辺上（$-2\leqq x\leqq 4$）にあるから，最小値は $k=\dfrac{16}{5}$ よって，$x=4,\ y=3$ のとき最大値 $25$；$x=\dfrac{4}{5},\ y=\dfrac{8}{5}$ のとき最小値 $\dfrac{16}{5}$