文章題を領域で考える最大・最小（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 文章題を領域で考える最大・最小（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
ある工場では 2 種類の製品 A，B を作っている．A を 1 kg 作るには原料 P が 2 kg，原料 Q が 1 kg 必要で，B を 1 kg 作るには原料 P が 1 kg，原料 Q が 3 kg 必要である．原料 P は 12 kg，原料 Q は 21 kg まで使える．製品 1 kg あたりの利益は A が 5 万円，B が 4 万円である．利益を最大にするには，A，B をそれぞれ何 kg 作ればよいか．また，そのときの利益を求めよ．
A を $x$ kg，B を $y$ kg 作るとすると，条件は
\[ x\geqq 0,\quad y\geqq 0,\quad 2x+y\leqq 12,\quad x+3y\leqq 21 \]
この領域 $D$ は 4 点 $(0,\ 0)$，$(6,\ 0)$，$(3,\ 6)$，$(0,\ 7)$ を頂点とする四角形の周および内部である（$2x+y=12$ と $x+3y=21$ の交点が $(3,\ 6)$）．
利益は $5x+4y$（万円）．$5x+4y=k$ とおくと $y=-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{k}{4}$．傾き $-\dfrac{5}{4}$ は辺の傾き $-2$ と $-\dfrac{1}{3}$ の間にあるから，直線が点 $(3,\ 6)$ を通るとき $k$ は最大で
\[ k=5\cdot 3+4\cdot 6=39 \]
（他の頂点では $(6,\ 0)$ で $30$，$(0,\ 7)$ で $28$．）
よって，A を 3 kg，B を 6 kg 作るとき，利益は最大で 39 万円．
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