領域内での ax+by の最大・最小（A）

与えられた連立不等式の表す領域 $D$ は，4 点 $(0,\ 0)$，$(3,\ 0)$，$(2,\ 3)$，$(0,\ 4)$ を頂点とする四角形の周および内部である（$x+2y=8$ と $3x+y=9$ の交点が $(2,\ 3)$）． (1) $2x+y=k$ とおくと $y=-2x+k$．これは傾き $-2$，$y$ 切片 $k$ の直線で，この直線が $D$ と共有点をもつような $k$ の最大・最小を考える． 傾き $-2$ は，点 $(2,\ 3)$ を端とする 2 辺の傾き $-3$（$3x+y=9$）と $-\dfrac{1}{2}$（$x+2y=8$）の間にあるから，直線が点 $(2,\ 3)$ を通るとき $k$ は最大で $k=7$，点 $(0,\ 0)$ を通るとき最小で $k=0$（下図）． よって $x=2,\ y=3$ のとき最大値 $7$，$x=0,\ y=0$ のとき最小値 $0$ (2) $x-y=k$ とおくと $y=x-k$．傾き $1$，$y$ 切片 $-k$ の直線である．$y$ 切片 $-k$ が最小となる点 $(3,\ 0)$ で $k$ は最大，$y$ 切片が最大となる点 $(0,\ 4)$ で $k$ は最小． よって $x=3,\ y=0$ のとき最大値 $3$，$x=0,\ y=4$ のとき最小値 $-4$