直線が線分と交わる条件（領域の利用）（A）

$f(x,\ y)=ax-y+1$ とおく．直線 $f(x,\ y)=0$ が線分 AB と共有点をもつのは，2 点 A，B が直線の両側にあるか，少なくとも一方が直線上にあるとき，すなわち \[ f(1,\ 3)\cdot f(4,\ -1)\leqq 0 \] のときである．$f(1,\ 3)=a-2$，$f(4,\ -1)=4a+2$ であるから \[ (a-2)(4a+2)\leqq 0 \quad\text{より}\quad -\frac{1}{2}\leqq a\leqq 2 \] （直線 $y=ax+1$ は点 $(0,\ 1)$ を通る傾き $a$ の直線で，下図のように，A を通るとき $a=2$，B を通るとき $a=-\dfrac{1}{2}$ である．） したがって，求める $a$ の値の範囲は $-\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq 2$ である．