OP・OQ=一定 となる点 Q の軌跡（A）

Q$(x,\ y)$ とすると，Q は原点と異なり，P は半直線 OQ 上にあるから，正の数 $k$ を用いて P$(kx,\ ky)$ と表せる． \[ \mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}=k(x^2+y^2)=4 \quad\text{より}\quad k=\frac{4}{x^2+y^2} \] P は直線 $x+y=2$ 上にあるから $kx+ky=2$．代入して \[ \frac{4(x+y)}{x^2+y^2}=2 \quad\text{すなわち}\quad x^2+y^2-2x-2y=0 \] よって Q は円 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ 上にあり，$(x,\ y)\neq(0,\ 0)$ である． 逆に，この円上の原点以外の点 Q に対し，$k=\dfrac{4}{x^2+y^2}$ として P を定めれば，P は直線 $x+y=2$ 上にあり条件を満たす． よって，求める軌跡は円 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ から原点を除いた部分（下図）．