2本の接線が直交する点の軌跡（B）

P から円に引いた 2 本の接線の接点を A，B，円の中心を O とする． $\angle\mathrm{OAP}=\angle\mathrm{OBP}=90^\circ$ であるから，$\angle\mathrm{APB}=90^\circ$ のとき，四角形 OAPB は 4 つの角がすべて直角で，さらに $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$ であるから正方形である（下図）．よって \[ \mathrm{OP}=\sqrt{2}\,\mathrm{OA}=\sqrt{2} \] 逆に，$\mathrm{OP}=\sqrt{2}$ のとき，$\mathrm{AP}=\sqrt{\mathrm{OP}^2-\mathrm{OA}^2}=1$ となり，$\triangle$OAP は直角二等辺三角形で $\angle\mathrm{APO}=45^\circ$．同様に $\angle\mathrm{BPO}=45^\circ$ であるから $\angle\mathrm{APB}=90^\circ$． よって，求める軌跡は円 $x^2+y^2=2$． （別解：P$(p,\ q)$ を通る直線 $y-q=m(x-p)$ が円に接する条件 $\dfrac{|q-mp|}{\sqrt{m^2+1}}=1$ から $(p^2-1)m^2-2pqm+q^2-1=0$．2 本の接線の傾きの積 $\dfrac{q^2-1}{p^2-1}=-1$ より $p^2+q^2=2$．$p=\pm 1$ のときも，$y$ 軸に平行な接線を含めて同じ結論になる．）