2本の接線が直交する点の軌跡（A）

放物線上の点 $(t,\ t^2)$ を通る傾き $m$ の直線 $y=m(x-t)+t^2$ と $y=x^2$ から $y$ を消去すると \[ x^2-mx+mt-t^2=0 \] この直線が放物線に接するのは，この 2 次方程式が重解をもつときである．判別式を $D$ とすると \[ D=m^2-4(mt-t^2)=(m-2t)^2 \] $D=0$ より $m=2t$．よって，点 $(t,\ t^2)$ における接線の方程式は \[ y=2tx-t^2 \] P$(p,\ q)$ を通るとき $q=2tp-t^2$，すなわち \[ t^2-2pt+q=0\quad\cdots\text{①} \] P から 2 本の接線が引けるのは ① が異なる 2 つの実数解 $t_1,\ t_2$ をもつときで，2 本の接線の傾きは $2t_1,\ 2t_2$．直交する条件は \[ 2t_1\cdot 2t_2=-1 \quad\text{すなわち}\quad 4t_1t_2=-1 \] 解と係数の関係より $t_1t_2=q$ であるから $q=-\dfrac{1}{4}$．このとき ① の判別式 $4p^2-4q=4p^2+1>0$ で，条件を満たす． よって，求める軌跡は直線 $y=-\dfrac{1}{4}$（下図）．