放物線と直線の交点の中点の軌跡（A）

直線は $y=mx+1$．これと $y=x^2$ を連立して \[ x^2-mx-1=0\quad\cdots\text{①} \] 判別式は $m^2+4>0$ であるから，直線と放物線は常に異なる 2 点で交わる．① の 2 解を $\alpha,\ \beta$ とすると，中点 M$(x,\ y)$ は \[ x=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{m}{2} \] また，M は直線 $y=mx+1$ 上にあるから $y=mx+1$． $m=2x$ を代入して $y=2x^2+1$．$m$ はすべての実数をとるから $x$ もすべての実数をとる． よって，求める軌跡は放物線 $y=2x^2+1$（下図）．