動点を含む三角形の重心の軌跡（A）

P$(s,\ t)$，G$(x,\ y)$ とする．P は円上にあるから $s^2+t^2=9$ ……① G は $\triangle$ABP の重心であるから \[ x=\frac{4+2+s}{3},\qquad y=\frac{0+6+t}{3} \] よって $s=3x-6$，$t=3y-6$．① に代入して \[ (3x-6)^2+(3y-6)^2=9 \quad\text{すなわち}\quad (x-2)^2+(y-2)^2=1 \] なお，直線 AB：$y=-3x+12$ と円 $x^2+y^2=9$ は共有点をもたない（代入した $10x^2-72x+135=0$ の判別式が負）ので，P がどこにあっても $\triangle$ABP ができる． よって，求める軌跡は中心 $(2,\ 2)$，半径 $1$ の円（下図）．