2定点からの距離の比が一定な点の軌跡（アポロニウスの円）（B）

P$(x,\ y)$ とする．$\mathrm{OP}=2\mathrm{AP}$ より $\mathrm{OP}^2=4\mathrm{AP}^2$ であるから \[ x^2+y^2=4\{(x-3)^2+y^2\} \] 展開して整理すると $3x^2-24x+3y^2+36=0$，すなわち \[ (x-4)^2+y^2=4 \] 逆に，この円上の任意の点は条件を満たす．よって，求める軌跡は中心 $(4,\ 0)$，半径 $2$ の円． （線分 OA を $2:1$ に内分する点 $(2,\ 0)$ と外分する点 $(6,\ 0)$ を直径の両端とする円である．）