2定点からの距離の比が一定な点の軌跡（アポロニウスの円）（A）

P$(x,\ y)$ とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=2:1$ より $\mathrm{AP}=2\mathrm{BP}$，すなわち $\mathrm{AP}^2=4\mathrm{BP}^2$ であるから \[ (x+2)^2+y^2=4\{(x-4)^2+y^2\} \] 展開して整理すると \[ 3x^2-36x+3y^2+60=0 \quad\text{すなわち}\quad x^2-12x+y^2+20=0 \] よって $(x-6)^2+y^2=16$ 逆に，この円上の任意の点は条件を満たす．したがって，求める軌跡は中心 $(6,\ 0)$，半径 $4$ の円（下図）． （この円は，線分 AB を $2:1$ に内分する点 $(2,\ 0)$ と外分する点 $(10,\ 0)$ を直径の両端とする円で，アポロニウスの円とよばれる．）