放物線と円の共有点の個数（B）

$x^2=y$ を円の方程式に代入して \[ y+(y-b)^2=1 \quad\text{すなわち}\quad y^2-(2b-1)y+b^2-1=0\quad\cdots\text{①} \] ① の解 $y$ に対し，$y>0$ なら $x=\pm\sqrt{y}$ の 2 個，$y=0$ なら $x=0$ の 1 個の共有点が対応する． (1) 異なる 2 点で接するのは，① が正の重解をもつときである．判別式 \[ D=(2b-1)^2-4(b^2-1)=5-4b=0 \quad\text{より}\quad b=\frac{5}{4} \] 重解は $y=\dfrac{2b-1}{2}=\dfrac{3}{4}>0$ で適する．$x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから，接点は $\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3}{4}\right)$（下図） (2) 共有点が 3 個となるのは，① が $y=0$ と正の解をもつときである．$y=0$ が解であるから $b^2-1=0$ より $b=\pm 1$． $b=1$ のとき，① は $y^2-y=0$ で $y=0,\ 1$．共有点は $(0,\ 0)$，$(\pm 1,\ 1)$ の 3 個で適する． $b=-1$ のとき，① は $y^2+3y=0$ で $y=0,\ -3$．共有点は 1 個で不適． よって $b=1$