放物線と円の共有点の個数（A）

$x^2=y-a$ を円の方程式に代入して $x$ を消去すると \[ y-a+y^2=1 \quad\text{すなわち}\quad y^2+y-a-1=0\quad\cdots\text{①} \] ① の実数解 $y$ に対して $x^2=y-a$ であるから，$y>a$ ならば $x$ は 2 個，$y=a$ ならば $x=0$ の 1 個，$y<a$ ならば $x$ は存在しない． $f(y)=y^2+y-a-1$ とおくと，軸は $y=-\dfrac{1}{2}$，判別式は $D=4a+5$，また $f(a)=a^2-1$． ・$a<-\dfrac{5}{4}$ のとき，$D<0$ で ① は実数解をもたず，0 個． ・$a=-\dfrac{5}{4}$ のとき，① は重解 $y=-\dfrac{1}{2}\ (>a)$ をもち，2 個（2 点で接する）． ・$-\dfrac{5}{4}<a<-1$ のとき，$D>0$，軸 $-\dfrac{1}{2}>a$，$f(a)>0$ より，① の 2 解はともに $a$ より大きく，4 個． ・$a=-1$ のとき，① は $y^2+y=0$ で $y=-1\ (=a),\ 0\ (>a)$．$1+2=3$ 個． ・$-1<a<1$ のとき，$f(a)<0$ より，① の解は $a$ より大きいものと小さいものが 1 つずつで，2 個． ・$a=1$ のとき，① は $y^2+y-2=0$ で $y=1\ (=a),\ -2\ (<a)$．1 個． ・$a>1$ のとき，$f(a)>0$ かつ軸 $-\dfrac{1}{2}<a$ より，① の解はすべて $a$ より小さく，0 個． （下図は $a=-\dfrac{5}{4},\ -1,\ 1$ の場合）