放物線上の点と直線の距離の最小（A）

P$(t,\ t^2)$ とする．直線は $2x-y-3=0$ であるから，P との距離 $d$ は \[ d=\frac{|2t-t^2-3|}{\sqrt{5}}=\frac{|t^2-2t+3|}{\sqrt{5}} \] $t^2-2t+3=(t-1)^2+2>0$ であるから \[ d=\frac{(t-1)^2+2}{\sqrt{5}} \] $d$ は $t=1$ のとき最小値 $\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ をとる． よって，P$(1,\ 1)$ のとき最小値 $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$（下図．P における放物線の接線は，直線 $y=2x-3$ に平行である）．