直線上の点を経由する最短の折れ線（B）

A，B はともに $y>x$ の側にある．直線 $y=x$ に関して A と対称な点は A$'(3,\ 1)$ であり，$\mathrm{AP}=\mathrm{A'P}$．よって \[ \mathrm{AP}+\mathrm{PB}=\mathrm{A'P}+\mathrm{PB}\geqq\mathrm{A'B}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=2\sqrt{10} \] 等号は P が線分 A$'$B と $\ell$ の交点のとき．直線 A$'$B は傾き $\dfrac{7-1}{5-3}=3$ より $y=3x-8$．$y=x$ と連立して $x=4$．P$(4,\ 4)$ よって，P$(4,\ 4)$ のとき最小値 $2\sqrt{10}$（下図）