直線上の点を経由する最短の折れ線（A）

$x$ 軸に関して A と対称な点を A$'$ とすると A$'(1,\ -3)$ で，$\mathrm{AP}=\mathrm{A'P}$ である．よって \[ \mathrm{AP}+\mathrm{PB}=\mathrm{A'P}+\mathrm{PB}\geqq\mathrm{A'B} \] A，B はともに $x$ 軸の上側にあるから，A$'$ と B は $x$ 軸に関して反対側にあり，線分 A$'$B は $x$ 軸と交わる．等号は P が線分 A$'$B と $x$ 軸の交点にあるときに成り立つ（下図）． \[ \mathrm{A'B}=\sqrt{(5-1)^2+(1+3)^2}=4\sqrt{2} \] 直線 A$'$B は，傾き $\dfrac{1+3}{5-1}=1$ より $y=x-4$．これと $x$ 軸の交点は $(4,\ 0)$ よって，P$(4,\ 0)$ のとき最小値 $4\sqrt{2}$