座標を用いて図形の性質を証明する（B）

G を原点にとり，A$(x_1,\ y_1)$，B$(x_2,\ y_2)$，C$(x_3,\ y_3)$ とする．G が重心であるから \[ x_1+x_2+x_3=0,\qquad y_1+y_2+y_3=0 \] $S=x_1^2+x_2^2+x_3^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2$ とおくと，右辺 $=3S$ である．左辺は \[ (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2+(y_1-y_2)^2+(y_2-y_3)^2+(y_3-y_1)^2 \] \[ =2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+2(y_1^2+y_2^2+y_3^2)-2(y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1) \] ここで $(x_1+x_2+x_3)^2=0$ より $2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)$．$y$ についても同様であるから \[ (\text{左辺})=3(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+3(y_1^2+y_2^2+y_3^2)=3S=(\text{右辺}) \] \hfill 〔証明終〕