座標を用いて図形の性質を証明する（A）

下図のように，辺 BC を $x$ 軸上に，A から BC に下ろした垂線を $y$ 軸にとり， \[ \mathrm{A}(0,\ a),\quad \mathrm{B}(b,\ 0),\quad \mathrm{C}(c,\ 0)\quad (a\neq 0,\ b\neq c) \] とする．A から BC への垂線は $y$ 軸すなわち $x=0$ である． B を通り直線 AC に垂直な直線：AC の傾きは $-\dfrac{a}{c}$（$c\neq 0$ のとき）であるから，この直線の傾きは $\dfrac{c}{a}$ で，方程式は $y=\dfrac{c}{a}(x-b)$ すなわち \[ c(x-b)-ay=0 \] （$c=0$ のときも，この式は直線 AC すなわち $y$ 軸に垂直な直線 $y=0$ を表し正しい．）同様に，C を通り AB に垂直な直線は \[ b(x-c)-ay=0 \] この 2 直線と $x=0$ の交点はいずれも $y=-\dfrac{bc}{a}$ の点である．よって 3 本の垂線は 1 点 $\left(0,\ -\dfrac{bc}{a}\right)$ で交わる． \hfill 〔証明終〕