図形の面積を2等分する直線（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 図形の面積を2等分する直線（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 4 点 O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(6,\ 3)$，C$(2,\ 3)$ を頂点とする平行四辺形 OABC の面積を，点 P$(0,\ 4)$ を通る直線で 2 等分する．この直線の方程式を求めよ．
\item[(2)] 3 点 O$(0,\ 0)$，A$(6,\ 0)$，B$(0,\ 6)$ を頂点とする $\triangle$OAB の面積を，直線 $y=k$ が 2 等分するとき，定数 $k$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 平行四辺形はその対角線の交点に関して点対称であるから，対角線の交点を通る直線は面積を 2 等分する．対角線 OB の中点は $\left(3,\ \dfrac{3}{2}\right)$．P$(0,\ 4)$ とこの点を通る直線の傾きは $\dfrac{3/2-4}{3-0}=-\dfrac{5}{6}$ であるから
\[ y=-\frac{5}{6}x+4 \quad\text{すなわち}\quad 5x+6y-24=0 \]
(2) $0<k<6$ で，直線 $y=k$ より上の部分は $\triangle$OAB と相似な三角形で，相似比は $(6-k):6$．面積比は $(6-k)^2:36$ であるから
\[ \frac{(6-k)^2}{36}=\frac{1}{2} \quad\text{より}\quad (6-k)^2=18 \]
$0<6-k<6$ より $6-k=3\sqrt{2}$．よって $k=6-3\sqrt{2}$
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