k によらず通る定点（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: k によらず通る定点（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 直線 $(k+2)x-(2k-1)y+3k-4=0$ は，定数 $k$ の値にかかわらず定点を通る．その定点の座標を求めよ．
\item[(2)] 直線 $y=mx+2$ が，2 点 A$(-3,\ -1)$，B$(2,\ -2)$ を結ぶ線分 AB と共有点をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 与式を $k$ について整理すると
\[ (x-2y+3)k+(2x+y-4)=0 \]
これが $k$ の値にかかわらず成り立つ条件は $x-2y+3=0$ かつ $2x+y-4=0$ である．これを解いて $x=1,\ y=2$．定点は $(1,\ 2)$
(2) 直線 $y=mx+2$ は点 P$(0,\ 2)$ を通る傾き $m$ の直線である．
\[ \text{PA の傾き}=\frac{-1-2}{-3-0}=1,\qquad \text{PB の傾き}=\frac{-2-2}{2-0}=-2 \]
P を通る直線を PA から PB まで，線分 AB 側を通るように回転させると，途中で $y$ 軸（$x=0$）を通過する．$x=0$ は $y=mx+2$ の形で表せないので，傾き $m$ の範囲は
\[ m\leqq -2,\quad 1\leqq m \]
（下図）
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