3数を解とする3次方程式をつくる（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 3数を解とする3次方程式をつくる（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 3 数 $2,\ -1,\ 4$ を解とする 3 次方程式を 1 つ作れ．
\item[(2)] 3 数 $2,\ 2+\sqrt{3},\ 2-\sqrt{3}$ を解とする 3 次方程式を 1 つ作れ．
\item[(3)] 3 次方程式 $x^3+2x^2-x+3=0$ の 3 つの解を $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ とするとき，$2\alpha,\ 2\beta,\ 2\gamma$ を解とする 3 次方程式を 1 つ作れ．
\end{enumerate}
(1) 和 $5$，2 つずつの積の和 $-2-4+8=2$，積 $-8$ であるから
\[ x^3-5x^2+2x+8=0 \]
(2) 和 $6$，2 つずつの積の和 $2(2+\sqrt{3})+2(2-\sqrt{3})+(4-3)=9$，積 $2\cdot 1=2$ であるから
\[ x^3-6x^2+9x-2=0 \]
(3) $X=2x$ とおくと，$x=\dfrac{X}{2}$ をもとの方程式に代入した
\[ \frac{X^3}{8}+2\cdot\frac{X^2}{4}-\frac{X}{2}+3=0 \]
の解が $2\alpha,\ 2\beta,\ 2\gamma$ である．両辺を 8 倍して $X^3+4X^2-4X+24=0$．よって
\[ x^3+4x^2-4x+24=0 \]
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