3数を解とする3次方程式をつくる（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 3数を解とする3次方程式をつくる（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 3 数 $1,\ 2,\ -3$ を解とする 3 次方程式を 1 つ作れ．
\item[(2)] 3 数 $1,\ 1+i,\ 1-i$ を解とする 3 次方程式を 1 つ作れ．
\item[(3)] 3 次方程式 $x^3-2x^2+3x-1=0$ の 3 つの解を $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ とするとき，$\alpha+1,\ \beta+1,\ \gamma+1$ を解とする 3 次方程式を 1 つ作れ．
\end{enumerate}
3 数 $p,\ q,\ r$ を解とする 3 次方程式の 1 つは
\[ x^3-(p+q+r)x^2+(pq+qr+rp)x-pqr=0 \]
(1) 和 $0$，2 つずつの積の和 $2-6-3=-7$，積 $-6$ であるから $x^3-7x+6=0$
(2) 和 $3$，2 つずつの積の和 $(1+i)+(1-i)+(1+i)(1-i)=2+2=4$，積 $2$ であるから
\[ x^3-3x^2+4x-2=0 \]
(3) $X=x+1$ とおく．$x=\alpha,\ \beta,\ \gamma$ のとき $X$ はそれぞれ $\alpha+1,\ \beta+1,\ \gamma+1$ であるから，$x=X-1$ をもとの方程式に代入した
\[ (X-1)^3-2(X-1)^2+3(X-1)-1=0 \]
が求める方程式である．展開して整理すると $X^3-5X^2+10X-7=0$．文字を $x$ に戻して
\[ x^3-5x^2+10x-7=0 \]
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