重解をもつように3次方程式の定数を決める（B）

$P(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+3)x-6$ とおくと \[ P(2)=8-4a-8+4a+6-6=0 \] であるから \[ P(x)=(x-2)(x^2-ax+3) \] $P(x)=0$ が重解をもつのは，次の (i)，(ii) のいずれかの場合である． (i) $x^2-ax+3=0$ が $2$ 以外の重解をもつ場合：$x^2-ax+3=0$ の判別式を $D$ とすると，$D=a^2-12=0$ より $a=\pm 2\sqrt{3}$．重解は $x=\dfrac{a}{2}=\pm\sqrt{3}$（複号同順，いずれも $2$ でない）． (ii) $x^2-ax+3=0$ が $x=2$ を解にもつ場合：$4-2a+3=0$ より $a=\dfrac{7}{2}$． このとき $x^2-\dfrac{7}{2}x+3=\dfrac{1}{2}(x-2)(2x-3)$ で，重解は $x=2$