重解をもつように3次方程式の定数を決める（A）

$P(x)=x^3+(a-1)x^2+(4-a)x-4$ とおくと，$P(1)=1+a-1+4-a-4=0$ であるから \[ P(x)=(x-1)(x^2+ax+4) \] $P(x)=0$ が重解をもつのは，次の (i)，(ii) のいずれかの場合である． (i) $x^2+ax+4=0$ が $1$ 以外の重解をもつ場合：判別式 $D=a^2-16=0$ より $a=\pm 4$． $a=4$ のとき重解は $x=-2$，$a=-4$ のとき重解は $x=2$（いずれも $1$ でない）． (ii) $x^2+ax+4=0$ が $x=1$ を解にもつ場合：$1+a+4=0$ より $a=-5$． このとき $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ となり，$P(x)=(x-1)^2(x-4)$ で，重解は $x=1$